Iskanje po katalogu digitalne knjižnice

Opis: Krovna tema pri\v cujo\v ce doktorske disertacije je kvalitativna obravnava nekaterih dru\v zin navadnih diferencialnih ena\v cb (NDE). Osrednja pozornost je namenjena ravninskim in tridimenzionalnim polinomskim sistemom ter preiskovanju pogojev, pri katerih se sistemi pona\v sajo s katero od naslovnih lastnosti: integrabilnostjo, linearizabilnostjo ali prisotnostjo limitnih ciklov. Uvodno poglavje je namenjeno definiciji osnovnih pojmov, ki zadevajo singularne to\v cke in njihove okolice v sistemih NDE. Predstavimo nekaj klju\v cnih metod in algoritmov komutativne ra\v cunske algebre, ki so bistveni pri preiskovanju sistemov v nadaljevanju dela. V drugem poglavju definiramo dve osrednji lastnosti $n$-dimenzionalnih sistemov NDE, integrabilnost in linearizabilnost. Najprej predstavimo metodo, s katero lahko pridobimo pogoje za integrabilnost sistema, nato pa navedemo nekaj na\v cinov za dokaz zadostnosti teh pogojev. Za preu\v citev linearizabilnosti se dotaknemo teorije normalnih form, predstavimo na\v cin za iskanje pogojev za linearizabilnost sistemov in doka\v zemo izrek, ki povezuje integrabilnost ter linearizabilnost sistemov NDE. Z uporabo omenjene teorije nato preu\v cimo integrabilnost in linearizabilnost kvadrati\v cnega tridimenzionalnega sistema z $(1:-1:-1)$-resonantno singularnostjo v izhodi\v s\v cu. Tretje poglavje je namenjeno ravninskim sistemom NDE in njihovi linearizabilnosti, ki je tesno povezana z izohronostjo. Predstavimo metodo za pridobivanje pogojev za linearizabilnost, ko le-teh ne moremo pridobiti iz linearizabilnostnih koli\v cin, in sicer iskanje polinomske linearizacije ene od ena\v cb sistema. Pri prou\v cevanju linearizabilnosti se osredoto\v cimo na nekatere Hamiltonske sisteme s homogenimi in nehomogenimi nelinearnostmi stopnje kve\v cjemu sedem. V \v cetrtem delu disertacije se lotimo problema centra in fokusa za nekatere rever-zibilne kubi\v cne sisteme. V tem smislu preiskujemo tri sisteme, ki so z ustrezno transformacijo prevedeni v eno izmed kanoni\v cnih oblik ravninskega kubi\v cnega sistema s singularnostjo tipa center ali fokus v izhodi\v s\v cu. Doka\v zemo, da so vsi pridobljeni sistemi Darbouxjevo integrabilni. Na koncu razi\v s\v cemo \v se orbitalno reverzibilnost teh sistemov. V zadnjem poglavju se posvetimo limitnim ciklom. Opi\v semo enega klju\v cnih pojavov za nastanek limitnih ciklov, Hopfovo bifurkacijo. Predstavimo metodo preiskovanja to\v ck v neskon\v cnosti, Poincar\' ejevo kompaktifikacijo in tehniko analize okolice neenostavnih singularnih to\v ck, usmerjeno napihovanje. Nato razi\v s\v cemo mo\v znosti za pojav limitnih ciklov v tridimenzionalnem biokemi\v cnem modelu in opredelimo fazno sliko v prvem kvadrantu dvodimenzionalnega reakcijskega modela.
Ključne besede: sistemi navadnih diferencialnih enačb, integrabilnost, linearizabilnost, limitni cikli, reverzibilnost, Hamiltonski sistemi
Objavljeno v DKUM: 15.03.2023; Ogledov: 725; Prenosov: 84
Celotno besedilo (2,58 MB)

Opis: Inverz matrike je definiran za kvadratne nesingularne matrike. Velikokrat imamo opravka s pravokotnimi ali singularnimi matrikami, a vseeno potrebujemo matriko, ki se obnaša podobno kot inverz. Za take primere definiramo posplošeni inverz ali pseudoinverz. V uvodnem (prvem) poglavju magistrske naloge najprej predstavimo nekaj osnovnih pojmov in definicij, ki so potrebni za razumevanje nadaljnje vsebine. V osrednjem (drugem) poglavju definiramo Moore-Penroseov inverz, ki zadošča štirim pogojem, in si podrobno ogledamo njegove lastnosti. Raziščemo Moore-Penroseov inverz vsote in produkta matrik. Definiramo še posplošeni notranji inverz in inverz najmanjših kvadratov ter si pogledamo nekatere njune lastnosti. Zaključimo z računanjem vseh treh posplošenih inverzov. V zaključnem (tretjem) poglavju predstavimo uporabo posplošenih inverzov za reševanje sistemov linearnih enačb. Sisteme razdelimo na rešljive in nerešljive ter za nerešljive predstavimo metodo najmanjših kvadratov.
Ključne besede: posplošeni inverz, pseudoinverz, realne matrike, Moore-Penroseov inverz, posplošeni notranji inverz, inverz najmanjših kvadratov, sistemi linearnih enačb, metoda najmanjših kvadratov
Objavljeno v DKUM: 07.10.2015; Ogledov: 1758; Prenosov: 162
Celotno besedilo (679,21 KB)