Iskanje po katalogu digitalne knjižnice

Opis: V članku vpeljemo koncept zaščitenega podgrafa. Množica le-teh po definicji leži med množico konveksnih in 2-izometričnih podgrafov, hkrati pa ni primerljiva z množico izometričnimih podgrafov. Dokažemo nekatere metrične lastnosti zaščitenih podgrafov ter koncept uporabimo v dominacijski igri, v kateri dva igralca, Dominator in Zavlačevalka, izmenično izbirata vozlišča grafa, tako da vsako izbrano vozlišče poveča množico dominiranih vozlišč. Dominatorjev cilj je končati igro, tj. dominirati celoten graf, čim hitreje, medtem ko je Zavlačevalkin cilj odigrati čim več potez. Igralno dominacijsko število je število potez v igri, ko Dominator začne in oba igralca igrata optimalno. Kot glavni rezultat članka dokažemo, da igralno dominacijsko število grafa ni nikoli manjše, kot igralno dominacijsko število njegovega zaščitenega podgrafa. Predstavljenih je tudi več aplikacij tega rezultata.
Ključne besede: dominacijska igra, igralno dominacijsko številko, konveksni podgraf, (2-)izometrični podgraf
Objavljeno v DKUM: 10.07.2017; Ogledov: 1077; Prenosov: 154
Celotno besedilo (690,85 KB)
Gradivo ima več datotek! Več...

Opis: Igra dominacije na grafu ▫$G$▫ je bila vpeljana v [B. Brešar, S. Klavžar, D. F. Rall, Domination game and an imagination strategy, SIAM J. Discrete Math. 24 (2010) 979-991]. Dva igralca, Dominator in Zavlačevalec, drug za drugim izbirata po eno vozlišče grafa. Vsako izbrano vozlišče mora povečati množico vozlišč, ki so bila dominirana do tega trenutka igre. Oba igralca izbirata optimalno strategijo, pri čemer Dominator želi igro končati v najmanjšem možnem številu korakov, Zavlačevalec pa v največjem možnem številu korakov. Igralno dominacijsko število ▫$gamma_g(G)$▫ je število izbranih vozlišč v igri, kjer je Dominator prvi izbral vozlišče. Ustrezno invarianto, ko igro začne Zavlačevalec, označimo z ▫$gamma_g'(G)$▫. V članku sta obe igri proučevani na drevesih in vpetih podgrafih. Dokazana je spodnja meja za igralno dominacijsko število drevesa, ki je funkcija njegovega reda in maksimalne stopnje. Pokazano je, da je meja asimptotično optimalna. Dokazano je, da za vsak ▫$k$▫ obstaja drevo ▫$T$▫ z ▫$(gamma_g(T),gamma_g'(T)) = (k,k+1)$▫ in postavljena je domneva, da ne obstaja drevo z ▫$(gamma_g(T),gamma_g'(T)) = (k,k-1)$▫. Obravnavana je povezava med igralnim dominacijskim številom grafa in njegovimi vpetimi podgrafi. Dokazano je, da obstajajo 3-povezani grafi ▫$G$▫, ki vsebujejo 2-povezani vpeti podgraf ▫$H$▫, tako da je igralno dominacijsko število grafa ▫$H$▫ poljubno manjše od igralnega dominacijskega števila grafa ▫$G$▫. Podobno je dokazano, da za vsako celo število ▫$ell ge 1$▫ obstajata graf ▫$G$▫ in njegov vpeti podgraf $T$, tako da velja ▫$gamma_g(G)-gamma_g(T) ge ell$▫. Po drugi strani obstajajo grafi ▫$G$▫, za katere je igralno dominacijsko število vsakega vpetega drevesa v ▫$G$▫ poljubno večje od igralnega dominacijskega števila od ▫$G$▫.
Ključne besede: igra dominacije, igralno dominacijsko število, drevo, vpeti podgraf, graph theory, domination game, game domination number, tree, spanning subgraph
Objavljeno v DKUM: 10.07.2015; Ogledov: 1070; Prenosov: 88
Povezava na celotno besedilo

Opis: Vizing's conjecture from 1968 asserts that the domination number of the Cartesian product of two graphs is at least as large as the product of their domination numbers. In this paper we survey the approaches to this central conjecture from domination theory and give some new results along the way. For instance, several new properties of a minimal counterexample to the conjecture are obtained and a lower bound for the domination number is proved for products of claw-free graphs with arbitrary graphs. Open problems, questions and related conjectures are discussed throughout the paper.
Ključne besede: matematika, teorija grafov, kartezični produkt, dominacija, Vizingova domneva, mathematics, graph theory, Caretesian product, domination, Vizing's conjecture
Objavljeno v DKUM: 10.07.2015; Ogledov: 989; Prenosov: 94
Povezava na celotno besedilo

Opis: The domination game played on a graph ▫$G$▫ consists of two players, Dominator and Staller who alternate taking turns choosing a vertex from ▫$G$▫ such that whenever a vertex is chosen the graph in as few steps as possible and Staller wishes to delay the process as much as possible. The game domination number ▫$gamma_g(G)$▫ is the number of vertices chosen when Dominator starts the game and the Staller-start game domination number ▫$gamma'_g(G)$▫ when Staller starts the game. It is proved that for any graph ▫$G$▫, ▫$gamma(G) le gamma_g(G) le 2gamma(G) - 1$▫, and that all possible values can be realized. It is also proved that for any graph ▫$G$▫, ▫$gamma_g(G) - 1 le gamma'_g(G) le gamma_g(G) + 2$▫, and that most of the possibilities for mutual values of ▫$gamma_g(G)$▫ and ▫$gamma'_g(G)$▫ can be realized. A connection with Vizing's conjecture is established and several problems and conjectures stated.
Ključne besede: teorija grafov, teorija iger, dominantnost, Vizingova domneva, graph theory, game theory, domination, domination game, game domination number, Vizing's conjecture
Objavljeno v DKUM: 10.07.2015; Ogledov: 1349; Prenosov: 25
Povezava na celotno besedilo

Opis: Pakirno kromatično število ▫$chi_{rho}(G)$▫ grafa ▫$G$▫ je najmanjše število ▫$k$▫, tako da lahko množico vozlišč grafa ▫$G$▫ razbijemo v pakiranja s paroma različnimi širinami. Dobljenih je več spodnjih in zgornjih meja za pakirno kromatično število kartezičnega produkta grafov. Dokazano je, da pakirno kromatično število šestkotniške mreže leži med 6 in 8. Optimalne spodnje in zgornje meje so dokazane za subdividirane grafe. Obravnavana so tudi drevesa ter vpeljana monotona barvanja.
Ključne besede: matematika, teorija grafov, pakirno kromatično število, kartezični produkt grafov, šestkotniška mreža, subdividiran graf, drevo, računska zahtevnost, mathematics, graph theory, packing chromatic number, Cartesian product of graphs, hexagonal lattice, subdivision graph, tree, computational complexity
Objavljeno v DKUM: 10.07.2015; Ogledov: 996; Prenosov: 104
Povezava na celotno besedilo