Search the digital library catalog

Abstract: Diplomsko delo z naslovom Nekateri rezultati o odvajanjih na prakolobarjih je razdeljeno na dve poglavji. Prvo poglavje je namenjeno osnovnim pojmom, ki jih potrebujemo za razumevanje diplomskega dela. V podrazdelkih smo se osredotočili, med drugim, na pojme grupa, kolobar, ideal, algebra, prakolobar, polprakolobar, odvajanje in Jordansko odvajanje. V drugem poglavju, ki je cilj diplomskega dela, bodo predstavljeni izreki in dokazi, ki jih potrebujemo za dokaz klasičnega rezultata I.N.Hersteina, ki pravi, da je vsako Jordansko odvajanje na prakolobarju s karakteristiko različno od dva odvajanje. Prav tako bomo zapisali Posnerjev izrek, ki pravi, da produkt dveh neničelnih odvajanj na prakolobarju s karakteristiko različno od dva ni odvajanje.
Keywords: kolobar, grupa, prakolobar, polprakolobar, ideal, algebra, odvajanje, Jordansko odvajanje.
Published in DKUM: 30.08.2016; Views: 1491; Downloads: 67
Full text (281,58 KB)

Abstract: Let ▫${mathcal{T}}_n(mathcal{C})$▫ be the algebra of all ▫$n times n$▫ upper triangular matrices over a commutative unital ring ▫$mathcal{C}$▫. We describe the structure of Jordan homomorphisms from ▫${mathcal{T}}_n(mathcal{C})$▫ into an arbitrary algebra over ▫$mathcal{C}$▫. As an application a new proof of our recent result on Jordan derivations on ▫${mathcal{T}}_n(mathcal{C})$▫ is obtained.
Keywords: matematika, algebra zgornje trikotnih matrik, jordanski homomorfizem, jordansko odvajanje, mathematics, triangular matrix algebra, Jordan homomorphism, Jordan derivation
Published in DKUM: 10.07.2015; Views: 1285; Downloads: 103
Link to full text

Abstract: A classical result of Herstein asserts that any Jordan derivation on a prime ring of characteristic different from two is a derivation. It is our aim in this paper to prove the following result, which is in the spirit of Herstein's theorem. Let ▫$R$▫ be a prime ring with ▫$text{char}(R) = 0$▫ or ▫$4 < text{char}(R)$▫, and let ▫$D colon R to R$▫ be an additive mapping satisfying either the relation ▫$D(x^3) = D(x^2)x + x^2D(x)$▫ or the relation ▫$D(x^3) = D(x)x^2 + xD(x^2)$▫ for all ▫$x in R$▫. In both cases ▫$D$▫ is a derivation.
Keywords: prakolobar, polprakolobar, odvajanje, jordansko odvajanje, jordansko trojno odvajanje, funkcijska identiteta, prime ring, semiprime ring, derivation, Jordan derivation, Jordan triple derivation, functional identity
Published in DKUM: 10.07.2015; Views: 1850; Downloads: 90
Link to full text

Abstract: V doktorski disertaciji so obravnavane funkcionalne enačbe, ki so v zvezi z odvajanji, centralizatorji in sorodnimi preslikavami na prakolobarjih. Med slovenskimi matematiki se je s tem področjem matematike v osemdesetih letih prejšnjega stoletja začel prvi ukvarjati J. Vukman, sledili so M. Brešar, B. Zalar, B. Hvala in v novejšem času M. Fošner, D. Benkovič, D. Eremita, I. Kosi-Ulbl in A. Fošner. Osnovno sredstvo pri reševanju tovrstnih funkcionalnih enačb je uporaba teorije funkcijskih identitet. Nekoliko natančneje pojasnimo omenjene pojme. Aditivna preslikava D, ki slika poljuben kolobar R vase, je odvajanje, če velja D(xy) = D(x)y + xD(y) za vsak par x, y iz R in je jordansko odvajanje, če velja D(x^2)=D(x)x +xD(x). Očitno je, da je vsako odvajanje tudi jordansko odvajanje, obratno pa v splošnem ne velja. I. N. Herstein je leta 1957 dokazal, da je vsako jordansko odvajanje na prakolobarju s karakteristiko različno od dva, odvajanje. V doktorski disertaciji se najprej osredotočimo na funkcionalne enačbe, ki so v zvezi z odvajanji. Obravnavali smo funkcionalni enačbi D(x^3=D(x^2)x + x^2D(x) in D(x^3=D(x)x^2+ xD(x^2),kjer je D aditivna preslikava, ki slika prakolobar s primernimi omejitvami glede karakteristike vase. Dokazali smo, da je D odvajanje. Nadalje poiščemo tudi rešitev funkcionalne enačbe 2D(x^(m+n+1))=(m+n+1)(x^mD(x)x^n+x^nD(x)x^m), kjer sta m in n fiksni naravni števili in D neničelna aditivna preslikava, ki slika prakolobar s primernimi omejitvami glede karakteristike vase. Dokažemo, da je D odvajanje in R komutativen kolobar. V tretjem poglavju so obravnavane funkcionalne enačbe, ki so v zvezi s centralizatorji. Aditivna preslikava T, ki slika poljuben kolobar R vase, je levi (desni) centralizator, če je T(xy)=T(x)y (T(xy)=xT(y)) za vsak par x, y iz R. V prvem podpoglavju tega razdelka je obravnavana funkcionalna enačba 2T(x^(m+n+1))=x^mT(x)x^n +x^nT(x)x^m na prakolobarju s primernimi omejitvami glede karakteristike, kjer sta sta m in n fiksni nenegativni celi števili in m+n je različno od 0. Dokažemo, da je T dvostranski centralizator. Aditivna preslikava T, ki slika poljuben kolobar R vase, je (m,n)-jordanski centralizator, če je (m+n)T(x^2)=mT(x)x+nxT(x) za vsak x iz R, kjer sta m in n fiksni nenegativni celi števili in m+n je različno od 0. Ta pojem je leta 2010 vpeljal J. Vukman ter med drugim tudi dokazal, da vsak (m,n)-jordanski centralizator na poljubnem kolobarju R zadošča pogoju 2(m+n)^2T(xyx) = mnT(x)xy + m(2m + n)T(x)yx -mnT(y)x^2 + 2mnxT(y)x - mnx^2T(y) + n(m + 2n)xyT(x) + mnyxT(x) za vsak par x, y iz R. Če v tej identiteti piŠemo y = x, dobimo naslednjo funkcionalno enačbo 2(m+n)^2T(x3)=m(2m+n)T(x)x^2+2mnxT(x)x+n(m+2n)x^2T(x), ki je obravnavana v zadnjem delu doktorske disertacije na prakolobarju s primernimi omejitvami glede karakteristike, kjer sta m in n fiksni naravni števili. Dokažemo, da je T dvostranski centralizator. V zaključnem poglavju podamo odprta vprašanja o funkcionalnih enačbah, ki so v zvezi s posplošenimi odvajanji in (theta, phi)- odvajanji, kjer sta theta in phi avtomorfzma na kolobarju R.
Keywords: aditivna preslikava, desni (levi) centralizator, d-prosta množica, dvostranski centralizator, funkcijska identiteta, jordansko odvajanje, komutirajoča preslikava, (m, n)-jordanski centralizator, odvajanje, polprakolobar, prakolobar, standardna rešitev.
Published in DKUM: 05.12.2013; Views: 2140; Downloads: 188
Full text (427,66 KB)

Abstract: V diplomskem delu so na trikotnih algebrah obravnavana jordanska odvajanja in jordanski izomorfizmi. Trikotna algebra A je algebra, ki je izomorfna algebri oblike A M B kjer sta A in B enotski algebri in M enotski (A; B)-bimodul. Osnovna primera trikotnih algeber sta algebra zgornje trikotnih matrik T_n(C) in gnezdna algebra T(N). Linearni preslikavi d iz algebre A v A-bimodul M pravimo jordansko odvajanje, če velja d (xy + yx) = d(x)y + xd(y) + d(y)x + yd(x) za vse x; y iz A. Jordanski homomorfiem iz algebre A v algebro B je linearna preslikava ', za katero velja ' (xy + yx) = ' (x) ' (y) + ' (y) ' (x) za vse x; y iz A. Za vsako odvajanje velja, da je tudi jordansko odvajanje. Pogoji, kadar velja tudi obrat, so predstavljeni v poglavju o jordanskih odvajanjih na trikotnih algebrah. Pokazano je, da je vsako jordansko odvajanje iz trikotne algebre A = Tri(A;M;B) vase odvajanje. V zadnjem poglavju so podani pogoji, ki morajo veljati, da sta algebra zgornje trikotnih matrik T_n(C) in gnezdna algebra T(N) nerazcepni. Trikotna algebra A = Tri(A;M;B) je nerazcepna, če modula M ni mogoče zapisati kot direktno vsoto dveh netrivialnih podmodulov. Na koncu diplomskega dela je dokazano, da je ob ustreznih predpostavkah vsak jordanski izomorfiem iz trikotne algebre A v neko drugo algebro izomofizem ali antiizomorfizem.
Keywords: trikotna algebra, trikotna matrična algebra, gnezdna algebra, odvajanje, jordansko odvajanje, jordanski izomorfizem.
Published in DKUM: 10.11.2010; Views: 2781; Downloads: 126
Full text (258,65 KB)