1. An equation related to two-sided centralizers in prime ringsMaja Fošner, Joso Vukman, 2011, original scientific article Abstract: The purpose of this paper is to prove the following result. Let ▫$m$▫ and ▫$n$▫ be positive integers, and let ▫$R$▫ be a prime ring with char▫$(R)=0$▫ or ▫$m+n+1 le char(R)$▫. Let ▫$T colon R to R$▫ be an additive mapping satisfying the relation ▫$T(x^{m+n+1}) = {x^m}T(x)x^n$▫ for all ▫$x in R$▫. In this case ▫$T$▫ is a two-sided centralizer.
Keywords: matematika, algebra, prakolobar, funkcijska identiteta, dvostranski centralizator, mathematics, prime ring, functional identity, two-sided centralizer
Published in DKUM: 10.07.2015; Views: 1102; Downloads: 102
 Link to full text |
2. Equations related to derivations on prime ringsMaja Fošner, Joso Vukman, 2011, original scientific article Abstract: In this paper we prove the following result. Let ▫$m ge 0$▫ and ▫$nge 0$▫ be integers with ▫$m+n ne 0$▫ and let ▫$R$▫ be a prime ring with ▫$char(R)=0$▫ or ▫$m+n+1 le char(R) ne 2$▫. Suppose there exists a nonzero additive mapping ▫$D:R to R$▫ satisfying the relation ▫$D(x^{m+n+1}) = (m+n+1)x^m D(x)x^n$▫ for all ▫$x in R$▫. In this case ▫$D$▫ is a derivation and ▫$R$▫ is commutative.
Keywords: matematika, prakolobar, funkcijska identiteta, odvajanje, mathematics, prime ring, functional identity, derivation
Published in DKUM: 10.07.2015; Views: 1181; Downloads: 127
Link to full text |
3. Chebotar, M.A.; Fong, Yuen; Shiao, Long-Sheng: On functional identities involving quasi-polynomials of degree one. - Commun. Algebra 32, No.9, 3673-3683 (2004). [ISSN 0092-7872; ISSN 1532-4125]Matej Brešar, 2005, review, book review, critique Keywords: matematika, algebra, asociativna superalgebra, funkcijska identiteta, mathematics, algebra, ▫$d$▫-free set, quasi-polynomial, functional identity
Published in DKUM: 10.07.2015; Views: 1102; Downloads: 21
Link to full text |
4. Commuting maps: a surveyMatej Brešar, 2004, review article Abstract: A map ▫$f$▫ on a ring ▫$mathcal{A}$▫ is said to be commuting if ▫$f(x)$▫ commutes with ▫$x$▫ for every ▫$x in mathcal{A}$▫. The paper surveys the development of the theory of commuting maps and their applications. The following topics are discussed: commuting derivations, commuting additive maps, commuting traces of multiadditive maps, various generalizations of the notion of a commuting map, and applications of results on commuting maps to different areas, in particular to Lie theory.
Keywords: matematika, algebra, prakolobar, komutirajoča preslikava, funkcijska identiteta, Banachova algebra, odvajanje, Liejeve algebre, linearni ohranjevalci, mathematics, algebra, commuting map, functional identity, prime ring, Banach algebra, derivation, Lie theory, linear preservers
Published in DKUM: 10.07.2015; Views: 1541; Downloads: 36
Link to full text |
5. A result concerning derivations in prime ringsMaja Fošner, Nina Peršin, 2013, original scientific article Abstract: A classical result of Herstein asserts that any Jordan derivation on a prime ring of characteristic different from two is a derivation. It is our aim in this paper to prove the following result, which is in the spirit of Herstein's theorem. Let ▫$R$▫ be a prime ring with ▫$text{char}(R) = 0$▫ or ▫$4 < text{char}(R)$▫, and let ▫$D colon R to R$▫ be an additive mapping satisfying either the relation ▫$D(x^3) = D(x^2)x + x^2D(x)$▫ or the relation ▫$D(x^3) = D(x)x^2 + xD(x^2)$▫ for all ▫$x in R$▫. In both cases ▫$D$▫ is a derivation.
Keywords: prakolobar, polprakolobar, odvajanje, jordansko odvajanje, jordansko trojno odvajanje, funkcijska identiteta, prime ring, semiprime ring, derivation, Jordan derivation, Jordan triple derivation, functional identity
Published in DKUM: 10.07.2015; Views: 1850; Downloads: 91
Link to full text |
6. An equation related to two-sided centralizers in prime ringsMaja Fošner, Joso Vukman, 2009, original scientific article Abstract: We prove the following result: Let ▫$R$▫ be a prime ring and let ▫$T : R to R$▫ be an additive mapping satisfying the relation ▫$nT(x^n) = T(x)x^{n-1} + xT(x)x^{n-2} + ... + x^{n-1}T(x)$▫ for all ▫$x in R$▫ where ▫$n > 1$▫ is some fixed integer. If ▫$char(R) = 0$▫ or ▫$n le char(R) ne 2$▫, then ▫$T$▫ is of the form ▫$T(x) = lambda x$▫ for all ▫$x in R$▫ and some fixed element ▫$lambda in C$▫ where ▫$C$▫ is the extended centroid of ▫$R$▫.
Keywords: matematika, algebra, prakolobar, polprakolobar, funkcijska identiteta, dvostranski centralizator, mathematics, algebra, prime ring, semiprime ring, functional identity, two-sided centralizer
Published in DKUM: 10.07.2015; Views: 1196; Downloads: 91
Link to full text |
7. Odvajanja in sorodne preslikave na nekaterih strukturah algebre in funkcionalne analizeNejc Širovnik, 2014, doctoral dissertation Abstract: Disertacija je sestavljena iz štirih delov. V prvem definiramo osnovne pojme, kot so prakolobar, polprakolobar
in standardna operatorska algebra ter dokažemo znan rezultat, da je standardna operatorska algebra prakolobar.
Nato spoznamo pojme klasični kolobar kvocientov, levi (desni, simetrični) Martindaleov kolobar kvocientov
ter razširjen centroid, ki izhajajo iz teorije Martindaleovih kolobarjev kvocientov.
Sledi vpeljava preslikav, kot so odvajanje, jordansko odvajanje, jordansko
trojno odvajanje, posplošeno odvajanje, levi (desni) centralizator in levi (desni) jordanski centralizator ter predstavitev
pomembnih rezultatov v zvezi z njimi. Prvi odmevnejši izrek tega področja sega v leto 1957, ko je Herstein dokazal, da je vsako jordansko odvajanje
na prakolobarju brez elementov reda dva odvajanje. Njegov rezultat je leta 1975 na polprakolobarje
brez elementov reda dva posplošil Cusack. M. Brešar je leta 1989 dokazal, da je vsako jordansko
trojno odvajanje na polprakolobarju brez elementov reda dva odvajanje.
Zalar je leta 1991 dokazal, da je vsak
levi (desni) jordanski centralizator na polprakolobarju brez elementov reda dva levi (desni) centralizator.
Chernoff je leta 1973 karakteriziral vsa linearna odvajanja na standardnih operatorskih algebrah.
Na koncu prvega poglavja predstavimo še teorijo funkcijskih identitet (Brešar - Beidar - Chebotarjeva teorija), ki jo uporabimo pri rezultatih na prakolobarjih.
V nadaljevanju predstavimo preslikave, ki zadoščajo določenim enakostim na standardnih operatorskih algebrah,
prakolobarjih ter polprakolobarjih.
V drugem poglavju obravnavamo aditivne preslikave v zvezi z odvajanji in jordanskimi odvajanji. Na standardnih
operatorskih algebrah dokažemo vrsto rezultatov, ki motivacijo črpajo iz rezultatov in domnev Vukmana, Eremite in Kosi-Ulblove.
S pomočjo teorije funkcijskih identitet na prakolobarjih dokažemo izrek, ki izhaja iz Vukmanove domneve. Sledi obravnava preslikav z določenimi lastnostmi na polprakolobarjih, ki ponekod vsebujejo enoto.
Tretje poglavje posvetimo preslikavam, ki so povezane s centralizatorji. Predstavimo
motivacijo za obravnavo dveh izrekov na standardnih operatorskih algebrah kompleksnega Hilbertovega prostora.
V zadnjem poglavju se lotimo odvajanjem sorodnih preslikav na standardnih operatorskih algebrah, prakolobarjih in
polprakolobarjih z enoto. Navdih za študij preslikav te vrste predstavljajo rezultati, ki jih predstavimo v prvem in drugem poglavju ter enakost, ki sta jo leta 2011 objavila M. Fošner in Vukman.
Keywords: prakolobar polprakolobar, Banachov prostor, algebra omejenih linearnih operatorjev, standardna operatorska algebra, aditivna preslikava, odvajanje, jordansko odvajanje, jordansko trojno odvajanje, centralizator, involucija, funkcijska identiteta, omejen linearen operator.
Published in DKUM: 08.05.2014; Views: 2152; Downloads: 152
 Full text (539,60 KB) |
8. Posebne funkcionalne enačbe na prakolobarjihNina Peršin, 2013, doctoral dissertation Abstract: V doktorski disertaciji so obravnavane funkcionalne enačbe, ki so v zvezi z odvajanji, centralizatorji in sorodnimi preslikavami na prakolobarjih. Med slovenskimi
matematiki se je s tem področjem matematike v osemdesetih letih prejšnjega
stoletja začel prvi ukvarjati J. Vukman, sledili so M. Brešar, B. Zalar, B. Hvala in
v novejšem času M. Fošner, D. Benkovič, D. Eremita, I. Kosi-Ulbl in A. Fošner.
Osnovno sredstvo pri reševanju tovrstnih funkcionalnih enačb je uporaba teorije
funkcijskih identitet.
Nekoliko natančneje pojasnimo omenjene pojme. Aditivna preslikava D, ki slika poljuben kolobar R vase, je odvajanje, če velja D(xy) = D(x)y + xD(y) za
vsak par x, y iz R in je jordansko odvajanje, če velja D(x^2)=D(x)x +xD(x).
Očitno je, da je vsako odvajanje tudi jordansko odvajanje, obratno pa v splošnem
ne velja. I. N. Herstein je leta 1957 dokazal, da je vsako jordansko odvajanje na
prakolobarju s karakteristiko različno od dva, odvajanje.
V doktorski disertaciji se najprej osredotočimo na funkcionalne enačbe, ki so
v zvezi z odvajanji. Obravnavali smo funkcionalni enačbi D(x^3=D(x^2)x + x^2D(x) in D(x^3=D(x)x^2+ xD(x^2),kjer je D aditivna preslikava, ki slika
prakolobar s primernimi omejitvami glede karakteristike vase. Dokazali smo, da je
D odvajanje. Nadalje poiščemo tudi rešitev funkcionalne enačbe 2D(x^(m+n+1))=(m+n+1)(x^mD(x)x^n+x^nD(x)x^m), kjer sta m in n fiksni naravni števili in
D neničelna aditivna preslikava, ki slika prakolobar s primernimi omejitvami glede
karakteristike vase. Dokažemo, da je D odvajanje in R komutativen kolobar.
V tretjem poglavju so obravnavane funkcionalne enačbe, ki so v zvezi s centralizatorji.
Aditivna preslikava T, ki slika poljuben kolobar R vase, je levi (desni)
centralizator, če je T(xy)=T(x)y (T(xy)=xT(y)) za vsak par x, y iz R. V prvem podpoglavju tega razdelka je obravnavana funkcionalna enačba 2T(x^(m+n+1))=x^mT(x)x^n +x^nT(x)x^m na prakolobarju s primernimi omejitvami glede karakteristike,
kjer sta sta m in n fiksni nenegativni celi števili in m+n je različno od 0. Dokažemo, da
je T dvostranski centralizator.
Aditivna preslikava T, ki slika poljuben kolobar R vase, je (m,n)-jordanski centralizator, če je (m+n)T(x^2)=mT(x)x+nxT(x) za vsak x iz R, kjer sta m
in n fiksni nenegativni celi števili in m+n je različno od 0. Ta pojem je leta 2010 vpeljal J. Vukman ter med drugim tudi dokazal, da vsak (m,n)-jordanski centralizator na
poljubnem kolobarju R zadošča pogoju
2(m+n)^2T(xyx) = mnT(x)xy + m(2m + n)T(x)yx -mnT(y)x^2
+ 2mnxT(y)x - mnx^2T(y) + n(m + 2n)xyT(x)
+ mnyxT(x)
za vsak par x, y iz R. Če v tej identiteti piŠemo y = x, dobimo naslednjo funkcionalno
enačbo
2(m+n)^2T(x3)=m(2m+n)T(x)x^2+2mnxT(x)x+n(m+2n)x^2T(x),
ki je obravnavana v zadnjem delu doktorske disertacije na prakolobarju s primernimi
omejitvami glede karakteristike, kjer sta m in n fiksni naravni števili.
Dokažemo, da je T dvostranski centralizator.
V zaključnem poglavju podamo odprta vprašanja o funkcionalnih enačbah, ki
so v zvezi s posplošenimi odvajanji in (theta, phi)-
odvajanji, kjer sta theta in phi avtomorfzma
na kolobarju R.
Keywords: aditivna preslikava, desni (levi) centralizator, d-prosta množica, dvostranski centralizator, funkcijska identiteta, jordansko odvajanje, komutirajoča preslikava, (m, n)-jordanski centralizator, odvajanje, polprakolobar, prakolobar, standardna rešitev.
Published in DKUM: 05.12.2013; Views: 2140; Downloads: 193
Full text (427,66 KB) |
9. Algebre, določene z ničelnim produktomMateja Grašič, 2012, doctoral dissertation Abstract: V doktorski disertaciji so obravnavane algebre, določene z ničelnim produktom.
Ta pojem je nov. Zato bo veˇcji del disertacije namenjen ugotavljanju določenosti z ničelnim produktom standardnih primerov asociativnih, Liejevih in jordanskih algeber.
V prvem delu se osredotočimo na asociativne algebre in pokažemo, da je vsaka matrična algebra nad algebro z enoto določena z ničelnim produktom. Nato sledi obravnava multiaditivnih preslikav, ki zadoščajo določenemu pogoju ohranjanja ničelnih produktov. Opisano je obnašanje teh preslikav na podkolobarju, generiranem z vsemi idempotenti danega kolobarja. Poseben primer tega rezultata je v
pomoč pri dokazu, da je vsaka enotska algebra, ki je generirana s svojimi idempotenti, določena z ničelnim produktom. Prav tako je vsaka končno razsežna enostavna
algebra, ki ni obseg, določena z ničelnim produktom.
Drugi del je namenjen Liejevim algebram. Dokažemo, da je z ničelnim Liejevim produktom določena vsaka matrična algebra nad enotsko asociativno algebro B, določeno z ničelnim Liejevim produktom. Podan je primer matrične algebre, ki
pove, da je res treba dodati določene predpostavke na algebro B. V nadaljevanju tega poglavja je dokazano še, da sta z ničelnim produktom določeni tudi Liejevi algebri poševno simetričnih matrik glede na transponiranje in simplektično involucijo.
V tretjem so obravnavane najbolj znane jordanske algebre. Dokazano je, da so z ničelnim jordanskim produktom določene: algebra matrik nad poljubno enotsko algebro, algebra simetričnih matrik glede na transponiranje in simplektično involucijo, Albertova algebra ter jordanska algebra, določena z nedegenerirano simetrično bilinearno formo.
Zadnji del je namenjen obravnavi določenih aditivnih preslikav na prakolobarjih.
Keywords: Albertova algebra, bilinearna preslikava, funkcijska identiteta, homomorfizem, idempotent, jordanska algebra, Liejeva algebra, linearna preslikava, matrična algebra, multiaditivna preslikava, prakolobar, poševno simetrična matrika, simetrična matrika, simplektična involucija, transponiranje, ničelni produkt, algebra, določena z ničelnim produktom.
Published in DKUM: 12.06.2012; Views: 4153; Downloads: 323
Full text (447,83 KB) |
