Search the digital library catalog

Abstract: In this paper we prove the following result. Let ▫$m ge 0$▫ and ▫$nge 0$▫ be integers with ▫$m+n ne 0$▫ and let ▫$R$▫ be a prime ring with ▫$char(R)=0$▫ or ▫$m+n+1 le char(R) ne 2$▫. Suppose there exists a nonzero additive mapping ▫$D:R to R$▫ satisfying the relation ▫$D(x^{m+n+1}) = (m+n+1)x^m D(x)x^n$▫ for all ▫$x in R$▫. In this case ▫$D$▫ is a derivation and ▫$R$▫ is commutative.
Keywords: matematika, prakolobar, funkcijska identiteta, odvajanje, mathematics, prime ring, functional identity, derivation
Published in DKUM: 10.07.2015; Views: 1181; Downloads: 125
Link to full text

Abstract: K. I. Beidar in Y.-F. Lin sta dokazala, da je pod določenimi pogoji linearni ohranjevalec komutativnosti med (jordanskima) algebrama ▫$mathcal{A}$▫ in ▫$mathcal{Q}$▫ standardne oblike, razen če preslikava določeno (običajno "veliko") podmnožico ▫$mathcal{A}$▫ slika v center ▫$mathcal{Q}$▫. Ta rezultat dopolnimo z ugotovitvijo, da ta množica pogosto vsebuje neničelni ideal. To nam omogoči podati dokončen rezultat o ohranjevalcih komutativnosti na enostavnih kolobarjih, kot tudi na prakolobarjih, če predpostavimo ohranjanje komutativnosti v obeh smereh.
Keywords: matematika, algebra, ohranjevalec komutativnosti, funkcijska identiteta, jordanski kolobar, prakolobar, involucija, mathematics, algebra, functional identity, commutativity preserving map, Jordan ring, prime ring, involution
Published in DKUM: 10.07.2015; Views: 1146; Downloads: 98
Link to full text

Abstract: A map ▫$f$▫ on a ring ▫$mathcal{A}$▫ is said to be commuting if ▫$f(x)$▫ commutes with ▫$x$▫ for every ▫$x in mathcal{A}$▫. The paper surveys the development of the theory of commuting maps and their applications. The following topics are discussed: commuting derivations, commuting additive maps, commuting traces of multiadditive maps, various generalizations of the notion of a commuting map, and applications of results on commuting maps to different areas, in particular to Lie theory.
Keywords: matematika, algebra, prakolobar, komutirajoča preslikava, funkcijska identiteta, Banachova algebra, odvajanje, Liejeve algebre, linearni ohranjevalci, mathematics, algebra, commuting map, functional identity, prime ring, Banach algebra, derivation, Lie theory, linear preservers
Published in DKUM: 10.07.2015; Views: 1541; Downloads: 31
Link to full text

Abstract: We prove the following result: Let ▫$R$▫ be a prime ring and let ▫$T : R to R$▫ be an additive mapping satisfying the relation ▫$nT(x^n) = T(x)x^{n-1} + xT(x)x^{n-2} + ... + x^{n-1}T(x)$▫ for all ▫$x in R$▫ where ▫$n > 1$▫ is some fixed integer. If ▫$char(R) = 0$▫ or ▫$n le char(R) ne 2$▫, then ▫$T$▫ is of the form ▫$T(x) = lambda x$▫ for all ▫$x in R$▫ and some fixed element ▫$lambda in C$▫ where ▫$C$▫ is the extended centroid of ▫$R$▫.
Keywords: matematika, algebra, prakolobar, polprakolobar, funkcijska identiteta, dvostranski centralizator, mathematics, algebra, prime ring, semiprime ring, functional identity, two-sided centralizer
Published in DKUM: 10.07.2015; Views: 1196; Downloads: 81
Link to full text

Abstract: V doktorski disertaciji so obravnavane funkcionalne enačbe, ki so v zvezi z odvajanji, centralizatorji in sorodnimi preslikavami na prakolobarjih. Med slovenskimi matematiki se je s tem področjem matematike v osemdesetih letih prejšnjega stoletja začel prvi ukvarjati J. Vukman, sledili so M. Brešar, B. Zalar, B. Hvala in v novejšem času M. Fošner, D. Benkovič, D. Eremita, I. Kosi-Ulbl in A. Fošner. Osnovno sredstvo pri reševanju tovrstnih funkcionalnih enačb je uporaba teorije funkcijskih identitet. Nekoliko natančneje pojasnimo omenjene pojme. Aditivna preslikava D, ki slika poljuben kolobar R vase, je odvajanje, če velja D(xy) = D(x)y + xD(y) za vsak par x, y iz R in je jordansko odvajanje, če velja D(x^2)=D(x)x +xD(x). Očitno je, da je vsako odvajanje tudi jordansko odvajanje, obratno pa v splošnem ne velja. I. N. Herstein je leta 1957 dokazal, da je vsako jordansko odvajanje na prakolobarju s karakteristiko različno od dva, odvajanje. V doktorski disertaciji se najprej osredotočimo na funkcionalne enačbe, ki so v zvezi z odvajanji. Obravnavali smo funkcionalni enačbi D(x^3=D(x^2)x + x^2D(x) in D(x^3=D(x)x^2+ xD(x^2),kjer je D aditivna preslikava, ki slika prakolobar s primernimi omejitvami glede karakteristike vase. Dokazali smo, da je D odvajanje. Nadalje poiščemo tudi rešitev funkcionalne enačbe 2D(x^(m+n+1))=(m+n+1)(x^mD(x)x^n+x^nD(x)x^m), kjer sta m in n fiksni naravni števili in D neničelna aditivna preslikava, ki slika prakolobar s primernimi omejitvami glede karakteristike vase. Dokažemo, da je D odvajanje in R komutativen kolobar. V tretjem poglavju so obravnavane funkcionalne enačbe, ki so v zvezi s centralizatorji. Aditivna preslikava T, ki slika poljuben kolobar R vase, je levi (desni) centralizator, če je T(xy)=T(x)y (T(xy)=xT(y)) za vsak par x, y iz R. V prvem podpoglavju tega razdelka je obravnavana funkcionalna enačba 2T(x^(m+n+1))=x^mT(x)x^n +x^nT(x)x^m na prakolobarju s primernimi omejitvami glede karakteristike, kjer sta sta m in n fiksni nenegativni celi števili in m+n je različno od 0. Dokažemo, da je T dvostranski centralizator. Aditivna preslikava T, ki slika poljuben kolobar R vase, je (m,n)-jordanski centralizator, če je (m+n)T(x^2)=mT(x)x+nxT(x) za vsak x iz R, kjer sta m in n fiksni nenegativni celi števili in m+n je različno od 0. Ta pojem je leta 2010 vpeljal J. Vukman ter med drugim tudi dokazal, da vsak (m,n)-jordanski centralizator na poljubnem kolobarju R zadošča pogoju 2(m+n)^2T(xyx) = mnT(x)xy + m(2m + n)T(x)yx -mnT(y)x^2 + 2mnxT(y)x - mnx^2T(y) + n(m + 2n)xyT(x) + mnyxT(x) za vsak par x, y iz R. Če v tej identiteti piŠemo y = x, dobimo naslednjo funkcionalno enačbo 2(m+n)^2T(x3)=m(2m+n)T(x)x^2+2mnxT(x)x+n(m+2n)x^2T(x), ki je obravnavana v zadnjem delu doktorske disertacije na prakolobarju s primernimi omejitvami glede karakteristike, kjer sta m in n fiksni naravni števili. Dokažemo, da je T dvostranski centralizator. V zaključnem poglavju podamo odprta vprašanja o funkcionalnih enačbah, ki so v zvezi s posplošenimi odvajanji in (theta, phi)- odvajanji, kjer sta theta in phi avtomorfzma na kolobarju R.
Keywords: aditivna preslikava, desni (levi) centralizator, d-prosta množica, dvostranski centralizator, funkcijska identiteta, jordansko odvajanje, komutirajoča preslikava, (m, n)-jordanski centralizator, odvajanje, polprakolobar, prakolobar, standardna rešitev.
Published in DKUM: 05.12.2013; Views: 2140; Downloads: 182
Full text (427,66 KB)