1. Razširjanje in ojačano pronicanje v produktih grafovJaka Hedžet, 2025, doctoral dissertation Abstract: V doktorski disertaciji obravnavamo spreminjanje stanja vozlišč grafa po pravilu procesa, imenovanega $r$-ojačano pronicanje. Bolj podrobno se lotimo preučevanja tega procesa na standardnih grafovskih produktih in vpeljemo nov pojem, imenovan razširjanje, ki sestoji iz kombinacije pravil ojačanega pronicanja ter ničelne prisile oziroma $k$-prisile. Po uvodnih poglavjih je disertacija razdeljena na pet delov, znotraj katerih predstavimo rezultate na omenjeno temo.
V prvem delu obravnavamo proces pronicanja na kartezičnih mrežah, ki so kartezični produkti poti. Natančneje, določimo $3$-ojačitveno število pronicanja za kartezične mreže velikosti $3 \times n$ in $5 \times n$, kjer je $n$ poljubno naravno število. Dodatno omejimo vrednost $3$-ojačitvenega števila za kartezično mrežo velikosti $4\times n$ na dve možni vrednosti.
V drugem delu disertacije se usmerimo v preučevanje pronicanja na krepkih produktih grafov, in sicer za poljubno število faktorjev. Določimo vrednosti za prag $r$, pri katerih $r$-ojačitveno število produkta $k$ grafov zasede svojo trivialno spodnjo mejo, ki je enaka $r$. Nadalje postavimo dodatne pogoje za faktorje krepkega produkta, pri katerih ohranimo enako lastnost $r$-ojačitvenega števila za višji prag $r$. Posebej se lotimo tudi najmanjšega primera, ki ni zajet v teh rezultatih, to je produkt dveh faktorjev in prag $r=3$, kjer karakteriziramo tiste krepke produkte, katerih $3$-ojačitveno število je enako $3$. Raziskavo razširimo na neskončne grafe, kjer opazujemo obnašanje $r$-ojačitvenega števila na krepkih produktih dvosmernih neskončnih poti.
V tretjem delu se lotimo še zadnjega izmed treh standardnih komutativnih grafovskih produktov, to je direktnega produkta grafov. Določimo nekaj zgornjih mej za $r$-ojačitveno število direktnega produkta dveh grafov in karakteriziramo grafe, ki dosežejo dve zgornji meji v primeru praga $r=2$. Določimo tudi natančne vrednosti za $r$-ojačitveno število produkta dveh poti poljubnih dolžin in med drugim okarakteriziramo tiste direktne produkte grafov, katerih $2$-ojačitveno število je enako redu enega izmed faktorjev.
Četrti in zadnji del doktorske disertacije posvetimo vpeljavi in preučevanju pojma razširjanje. Posplošimo do sedaj znane rezultate iz procesov pronicanja in $k$-prisile ter zapolnimo nekatere vrzeli pri rezultatih o kartezičnih mrežah in dokažemo, da je problem razširjanja NP-težek. Z vidika razširjanja dodatno preučujemo kubične grafe brez krempljev, kjer določimo bodisi natančne vrednosti, bodisi meje za vse variante razširjevalnega števila, in drevesa, kjer predstavimo algoritem za iskanje najmanjše širitvene množice poljubnega drevesa.
Keywords: ojačano pronicanje, ojačitveno število pronicanja, razširjanje, kartezični produkt, direktni produkt, krepki produkt, mreža, kubični graf, drevo.
Published in DKUM: 06.10.2025; Views: 0; Downloads: 26
 Full text (581,56 KB) |
2. A new framework to approach Vizing's conjectureBoštjan Brešar, Bert L. Hartnell, Michael A. Henning, Kirsti Kuenzel, Douglas F. Rall, 2021, original scientific article Abstract: We introduce a new setting for dealing with the problem of the domination number of the Cartesian product of graphs related to Vizing's conjecture. The new framework unifies two different approaches to the conjecture. The most common approach restricts one of the factors of the product to some class of graphs and proves the inequality of the conjecture then holds when the other factor is any graph. The other approach utilizes the so-called Clark-Suen partition for proving a weaker inequality that holds for all pairs of graphs. We demonstrate the strength of our framework by improving the bound of Clark and Suen as follows: ɣ(X◻Y) ≥ max{1/2ɣ(X) ɣt(Y), 1/2ɣt(X) ɣ(Y)}, where ɣ stands for the domination number, ɣt is the total domination number, and X◻Y is the Cartesian product of graphs X and Y.
Keywords: Cartesian product, total domination, Vizing's conjecture, Clark and Suen bound
Published in DKUM: 09.08.2024; Views: 86; Downloads: 15
Full text (179,75 KB)
This document has many files! More... |
3. Vizing's conjecture: a survey and recent resultsBoštjan Brešar, Paul Dorbec, Wayne Goddard, Bert L. Hartnell, Michael A. Henning, Sandi Klavžar, Douglas F. Rall, 2012, review article Abstract: Vizingova domneva iz leta 1968 trdi, da je dominacijsko število kartezičnega produkta dveh grafov vsaj tako veliko, kot je produkt dominacijskih števil faktorjev. V članku naredimo pregled različnih pristopov k tej osrednji domnevi iz teorije grafovske dominacije. Ob tem dokažemo tudi nekaj novih rezultatov. Tako so na primer pokazane nove lastnosti minimalnega protiprimera, dokazana je tudi nova spodnja meja za produkte grafov brez induciranega ▫$K_{1,3}$▫ s poljubnimi grafi. Skozi celoten članek so obravnavani pripadajoči odprti problemi, vprašanja in sorodne domneve.
Keywords: matematika, teorija grafov, kartezični produkt, dominacija, Vizingova domneva, mathematics, graph theory, Caretesian product, domination, Vizing's conjecture
Published in DKUM: 10.07.2015; Views: 1362; Downloads: 96
 Link to full text |
4. Vizing's conjecture: a survey and recent resultsBoštjan Brešar, Paul Dorbec, Wayne Goddard, Bert L. Hartnell, Michael A. Henning, Sandi Klavžar, Douglas F. Rall, 2009 Abstract: Vizing's conjecture from 1968 asserts that the domination number of the Cartesian product of two graphs is at least as large as the product of their domination numbers. In this paper we survey the approaches to this central conjecture from domination theory and give some new results along the way. For instance, several new properties of a minimal counterexample to the conjecture are obtained and a lower bound for the domination number is proved for products of claw-free graphs with arbitrary graphs. Open problems, questions and related conjectures are discussed throughout the paper.
Keywords: matematika, teorija grafov, kartezični produkt, dominacija, Vizingova domneva, mathematics, graph theory, Caretesian product, domination, Vizing's conjecture
Published in DKUM: 10.07.2015; Views: 1365; Downloads: 104
Link to full text |
5. On integer domination in graphs and Vizing-like problemsBoštjan Brešar, Michael A. Henning, Sandi Klavžar, 2006, original scientific article Abstract: Nadaljujemo študij ▫${k}$▫-dominantnih funkcij v grafih (ali, kot bomo tudi rekli, celoštevilske dominacije), ki so jo začeli Domke, Hedetniemi, Laskar in Fricke. Za celo število ▫$k ge 1$▫ je funkcija ▫$f: V(G) to {0,1,...,k}$▫, definirana na točkah grafa ▫$G$▫, ▫${k}$▫-dominantna funkcija, če je vsota funkcijskih vrednosti na vsaki zaprti okolici vsaj ▫$k$▫. Teža ▫${k}$▫-dominantne funkcije je vsota funkcijskih vrednosti po vseh točkah. ▫${k}$▫-dominantno število grafa ▫$G$▫ je najmanjša teža ▫${k}$▫-dominantne funkcije na ▫$G$▫. Obravnavamo ▫${k}$▫-dominantno število kartezičnega produkta grafov, predvsem probleme povezane s slavno Vizingovo domnevo. Študirana je tudi povezava med ▫${k}$▫-dominantnim številom in drugimi tipi dominacijskih parametrov.
Keywords: matematika, teorija grafov, ▫${k}$▫-dominantna funkcija, celoštevilska dominacija, Vizingova domneva, kartezični produkt grafov, mathematics, graph theory, ▫${k}$▫-dominating function, integer domination, Vizing's conjecture, Cartesian product
Published in DKUM: 10.07.2015; Views: 1280; Downloads: 72
Link to full text |
