Search the digital library catalog

Abstract: If S=(a1,a2,...) is a non-decreasing sequence of positive integers, then an S-packing coloring of a graph G is a partition of V (G) into sets X1,X2,... such that for each pair of distinct vertices in the set Xi, the distance between them is larger than ai. If there exists an integer k such that V(G)=X1 U ... U Xk, then the partition is called an S-packing k-coloring. The S-packing chromatic number of G is the smallest k such that G admits an S-packing k-coloring. If ai=i for every i, then the terminology reduces to packing colorings and packing chromatic number. Since the introduction of these generalizations of the chromatic number in 2008 more than fifty papers followed. Here we survey the state of the art on the packing coloring, and ts generalization, the S-packing coloring. We also list several conjecres and open problems.
Keywords: packing coloring, packing chromatic number, subcubic graph, S-packing chromatic number, computational complexity
Published in DKUM: 11.03.2025; Views: 0; Downloads: 7
Full text (98,49 KB)
This document has many files! More...

Abstract: We propose a new coloring game on a graph, called the independence coloring game, which is played by two players with opposite goals. The result of the game is a proper coloring of vertices of a graph G, and Alice’s goal is that as few colors as possible are used during the game, while Bob wants to maximize the number of colors. The game consists of rounds, and in round i, where i = 1, 2,, … , the players are taking turns in selecting a previously unselected vertex of G and giving it color i (hence, in each round the selected vertices form an independent set). The game ends when all vertices of G are selected (and thus colored), and the total number of rounds during the game when both players are playing optimally with respect to their goals, is called the independence game chromatic number, χig(G), of G. In fact, four different versions of the independence game chromatic number are considered, which depend on who starts a game and who starts next rounds. We prove that the new invariants lie between the chromatic number of a graph and the maximum degree plus 1, and characterize the graphs in which each of the four versions of the game invariant equals 2. We compare the versions of the independence game chromatic number among themselves and with the classical game chromatic number. In addition, we prove that the independence game chromatic number of a tree can be arbitrarily large.
Keywords: graph, coloring, coloring game, competition-independence game, game chromatic number, tree
Published in DKUM: 09.08.2024; Views: 99; Downloads: 10
Full text (852,33 KB)
This document has many files! More...

Abstract: ▫$2$▫-pakirno število ▫$\rho_2(G)$▫ grafa ▫$G$▫ je kardinalnost največjega ▫$2$▫-pakiranja grafa ▫$G$▫, odprto pakirno število ▫$\rho^{\rm o}(G)$▫ pa kardinalnost največjega odprtega pakiranja grafa ▫$G$▫, kjer je odprto pakiranje (oz. ▫$2$▫ pakiranje) množica vozlišč grafa ▫$G$▫, katerih dve (zaprti) soseščini se ne sekata. Dokazano je, da če je ▫$G$▫ dvodelen, potem je ▫$\rho^{\rm o}(G\Box K_2) = 2\rho_2(G)$▫. Za hiperkocke sta določeni spodnji meji ▫$\rho_2(Q_n) \ge 2^{n - \lfloor \log n\rfloor -1}$▫ in ▫$\rho^{\rm o}(Q_n) \ge 2^{n - \lfloor \log (n-1)\rfloor -1}$▫. Te ugotovitve so uporabljene za injektivna barvanja hiperkock. Dokazano je, da je ▫$Q_9$▫ najmanjša hiperkocka, ki ni popolno injektivno obarvljiva. Dokazano je tudi, da je ▫$\gamma_t(Q_{2^k}\times H) = 2^{2^k-k}\gamma_t(H)$▫, kjer je ▫$H$▫ poljuben graf brez izoliranih vozlišč.
Keywords: 2-pakirno število, odprto pakirno število, dvodelna prizma, hiperkocke, injektivno barvanje, celotno dominacijsko število, 2-packing number, open packing number, bipartite prism, hypercube, injective coloring, total domination number
Published in DKUM: 28.02.2024; Views: 260; Downloads: 10
Link to full text

Abstract: Mavrično dominacijo na grafu $G$, z (neprazno) množico vozlišč in povezav ter množico s $k$ barvami, opišemo kot funkcijo $f$, ki vsako vozlišče označi s poljubno podmnožico barv tako, da imajo vsa tista vozlišča, ki jim je prirejena prazna množica, v svoji soseščini vseh $k$ barv. Funkciji $f$ tedaj pravimo $k$-mavrična dominantna funkcija grafa $G$. Vsota moči vseh oznak na vozliščih je vrednost $k$-mavrično dominantne funkcije. Najmanjša vrednost izmed vseh takih funkcij na grafu $G$ se imenuje $k$-mavrično dominantno število grafa $G$. V magistrskem delu podamo nekaj točnih vrednosti in zgornjih mej za $k$-mavrična dominantna števila. Večji poudarek damo na meje za 2- in 3-mavrično dominantna števila. Dokažemo dve splošni zgornji meji 2-mavrično dominantnega števila ter opišemo meje za 3-mavrično dominantna števila. Na koncu dela sledijo meje za $k$-mavrično dominantna števila, za katera je $k > 3$. V nekaterih primerih opišemo družine grafov, ki dosežejo enakost meje in jih dokažemo.
Keywords: graf, dominantno število, mavrična dominantna funkcija, mavrično dominantno število
Published in DKUM: 02.02.2023; Views: 766; Downloads: 58
Full text (3,91 MB)

Abstract: V doktorski disertaciji obravnavamo v zadnjih letih vpeljane variacije klasične igre barvanja in njim sorodne igre na grafih. Doktorsko delo sestoji iz štirih delov, znotraj katerih predstavimo nova spoznanja na omenjeno temo. V prvem delu disertacije obravnavamo indicirano igro barvanja kartezičnih produktov grafov. Natančneje, določimo indicirano igralno kromatično število kartezičnih produktov grafov, katerih indicirano kromatično število znaša 3, s polnim dvodelnim grafom. Dodatno obravnavamo indicirano kromatično število kartezičnih produktov bločnih grafov in dreves ter indicirano kromatično število kartezičnega produkta dveh ciklov. V drugem delu disertacije se posvetimo študiji štirih variacij neodvisnostne igre barvanja, ki so posebna oblika klasične igre barvanja, pri kateri igralca ne preideta na višjo raven, dokler ne izčrpata vseh možnosti za uporabo dane barve. Dobljene igralne invariante primerjamo med seboj in s klasičnim igralnim kromatičnim številom. Poleg tega ugotovimo, da neodvisnostno igralno kromatično število v razredu dreves ni omejeno. V tretjem delu preučujemo vozliščno kritične grafe glede na klasično igralno kromatično število, glede na indicirano kromatično število in glede na A-neodvisnostno ter AB-neodvisnostno igralno kromatično število. Med drugim obravnavamo vprašanje povezanosti grafov, ki so kritični glede na omenjene igralne grafovske invariante, obnašanje dane igralne invariante ob odstranitvi poljubnega vozlišča iz igralno vozliščno kritičnega grafa ter karakteriziramo igralno vozliščno kritične grafe, ki imajo majhno vrednost pripadajoče invariante. Zadnji del doktorske disertacije posvetimo neodvisni dominacijski igri s preprečevanjem. Določimo neodvisni dominantni števili s preprečevanjem za poti in cikle. Poleg tega postavimo meje za obe variaciji omenjene igre ter karakteriziramo (povezane) grafe, ki dosežejo dobljeni meji. Dodatno opozorimo na tesno povezavo med neodvisno dominacijsko igro s preprečevanjem in pakirno igro barvanja v grafih z diametrom 2.
Keywords: igra barvanja, indicirana igra barvanja, neodvisnostna igra barvanja, neodvisna dominacijska igra, pakirna igra barvanja, kartezični produkt, drevo, vozliščno kritičen graf
Published in DKUM: 25.10.2022; Views: 703; Downloads: 76
Full text (614,26 KB)